Linear Algebra #05-1 | Determinants

2022년 10월 16일 13:11

Determinants

Determinants(행렬식)은 행렬을 대표하는 값으로 정방행렬 $A$ 에 대해 $det(A)$ 또는 $|A|$ 로 표기된다.

determinants는 [역행렬 존재여부 및 구할 때, 연립 선형 방정식을 풀 때, eigenvalue와 eigenvector]에 사용된다.

1 × 1정방행렬의 determinant

$A=[a]$ 의 $det(A)=det([a])=a$
2 × 2정방행렬의 determinant

$A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ 의 $det(A)=det(\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix})=ad-bc$
3 × 3정방행렬의 determinant

$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$ 의

$det(A)=$

$\ \ \ \ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_22a_{31}$

3 × 3의 determinant원리

Sarrus method

Minor determinant(소행렬식)은 어떤 $a_{ij}$ 의 요소가 있는 $i$ 번째 row와 $j$ 번째 column을 제거한 행렬의 Determinant를 말하며 $A_{ij}$ 로 표기한다.

이 소행렬식을 이용해 행렬식을 다시 일반화 해보면

$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

$= a_{11}A_{11}-a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$ 이 된다.

만약 column을 기준으로 묶었다면 $a_{11}A_{11}-a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}$ 이 된다.

Minor determinant를 통해 $n × n$ 의 determinant를 수식화한 것을 Laplace Expansion이라고 한다.

Cofactor $C_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$ 를 통해 앞의 수식을 좀 더 간결하게 나타낼 수 있다.